A vida é feita de escolhas. Pelo menos é isso que dizem por aí. Dos gurus da motivação até as tiazinhas fofoqueiras no seu chá da tarde. Escolhas. O que comer? O que vestir? O que dizer e o que não? Somos todos o limite de somas parciais das nossas escolhas.
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No universo das ideias matemáticas, algumas escolhas são feitas por convenção ou conveniência e outras mais por convicção ou simples gosto. Algumas poucas escolhas acabam entrando em todas as categorias anteriores… ou em nenhuma, a depender do matemático da sua escolha. Hoje estou falando precisamente do Axioma de Escolha.
Bertrand Russell quis ilustrar informalmente o axioma de escolha com uma situação inusitada: se você tivesse infinitos pares de sapatos e infinitos pares de meias, poderia você estabelecer, de forma precisa, uma regra para escolher um sapato e uma meia de cada par? No caso dos sapatos, você pode dizer, por exemplo: “de cada par, pega o sapato esquerdo”. E com as meias? Como fazer uma escolha clara e precisa de uma meia se não é possível distinguir entre elas? Certamente o leitor pensará, “mas como que não posso escolher... é só pegar qualquer uma de cada par!” O leitor não está sozinho na sua percepção, e por muito tempo esta estratégia de “pode escolher qualquer um a vontade que para mim tanto faz”, foi igualmente aceita dentro da matemática (mesmo cientes das frustrações provenientes de seguir esta estratégia para a escolha de jantares, filmes ou roupas para seu par romântico). No entanto, com o tempo ficou claro que, quando se trata de infinitos conjuntos, com possivelmente infinitos elementos, fazer tal escolha não é um assunto trivial. O axioma de escolha estabelece que, mesmo neste caso e mesmo se você não pode expressar explicitamente a regra, sempre existe uma forma de realizar a escolha!
Na matemática, as conveniências do axioma de escolha vão além de decisões matutinas sobre roupa. O axioma e algumas das suas equivalências, permitem obter versões gerais de vários resultados que, caso não fossem válidos, fariam os matemáticos ficarem muito chateados: todo espaço vetorial tem uma base, dois conjuntos disjuntos abertos e convexos podem ser separados por um hiperplano, todo grafo conexo tem uma árvore geradora, entre outros. Nesse sentido, aceitar o axioma de escolha é uma questão de sanidade mental matemática. No entanto, quando os matemáticos aceitam incluir o axioma de escolha entre suas armas de predileção, acabam abrindo a porta para situações que podem contrariar a nossa intuição. Este é o caso do chamado paradoxo de Tarski e Banach.
Informalmente, o resultado de Tarski e Banach estabelece que é possível dividir uma esfera sólida em um número finito de partes e reconstruir, com estas mesmas partes, duas esferas com o mesmo tamanho original! A demonstração usa o axioma de escolha, e garante a existência de tal partição da esfera, mas não diz explicitamente como ela é. Olha a pegadinha! Já imaginou se fosse possível fazer explicitamente tal partição? Aqueles vídeos das barrinhas de chocolate infinitas iam ficar no chinelo!
Aparentemente, Banach e Tarski propuseram este resultado como uma forma de desprestigiar o axioma da escolha, mas para muitos matemáticos o resultado é simplesmente uma curiosidade contra-intuitiva, uma consequência de escolher aceitar o axioma de escolha. Na matemática como na vida, temos que lidar com as consequências das nossas escolhas, mesmo que estes resultados às vezes fujam da nossa intuição. Aliás, ninguém ainda aceitou algum axioma que estabeleça que a nossa intuição tem sempre que estar certa ou que o contra intuitivo não pode às vezes ter a razão.
Soundtrack: Weapon of Choice by Fatboy Slim
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